第１問

（２）ｉが１，２，３のときすべての確率を求めて、計算すればよいです。

（３）難問です。コンビネーションの和なので２項定理で計算するのが有名ですが、今回はコンビネーションの積です。このコンビネーションの積の和をどう扱うべきなのか知らなければお手上げです。さらにｉがつきますので余計複雑です。まずはｉをコンビネーションに組み込みます。そこからコンビネーションの積の和を計算します。この式変形の流れは答えのところに補足説明として記載してあります。

​

＜まとめ＞

(２)と(３)は期待値の問題なので旧課程であることが残念でしたが、期待値の説明書きがあれば出題されてもおかしくありません。さらに言えば、(３)はコンビネーションの扱いを学ぶ上で非常に有意義な問題です。Xの期待値を立式するだけならカンタンです。X＝i のときの確率に、i をかけた値を出します。この i を１からｋまで変化させた値すべての和が期待値です。ぜひチャレンジしてみて下さい。

​

​

​

題２問

（１）１を移行して虚部を１人ぼっちにしてから２乗しましょう。

（２）極形式にしてからｎ乗するだけです。しかし、（３）のことを考えると、２ではなく－２をくくりだした方が扱いやすいですね。なので厳密に言うと極形式ではありません。

（３）一般項が大きさ１の極形式になります。3ｋ-2、3ｋ-1、3ｋで分けて計算しましょう。

​

＜まとめ＞

出題のされ方は、入試においてはごくごく一般的です。青チャートなどで基本の考え方を一通りマスターしたなら、入試問題で演習を積みましょう。慣れてくると、この問題も「はい、この設定ね。解いたことあるよ。」と余裕をもって臨めるはずです。

​

​

​

題３問

（１）放物線上を速さ１で動くのであって、ｘ軸方向の速さが１というわけではありません。しかし、出発点はともに頂点であり、放物線の２次の係数の絶対値はそれぞれ１なので、点Pも点Qも頂点から同じような離れ方をします。たとえば、点ｐのｘ座標が３であるなら、点Qのｘ座標は１－３＝２となります。よって、点Qの座標を出すことはカンタンですが、理由の説明をある程度書いた方が良いでしょう。説明する上で距離の積分を使うのもよいでしょう。

（２）４次関数の微分。

（３）いきなり出てきた微分計算。十中八九（４）のための準備ですね。計算頑張りましょう。

（４）(２)でもとめた点Pの位置まで移動するのにかかる時間は、速さ１で移動していますので、移動距離と一致します。距離を求める積分の計算をしましょう、ということですね。なるべく被積分関数がカンタンになるようにしたいので、点Pの移動距離を求めましょう。すると（３）の微分結果と、被積分関数が似ています。ｔ=2ｘとして置換すれば解決です。やはり（３）はヒントでしたね。

​

＜まとめ＞

放物線上を速さ１で移動するという設定でしたので、速度ベクトルの絶対値が１か、難しそう！！という風に戦意が削がれた人もいるかもしれません。しかし（１）の問題を解き始めてみると、速度ベクトルを考える必要がないことがわかります。うまく誘導にのっていけば解けそうだとシフトしていきたいですね。（４）の距離の積分の出題はあまりないので、慣れていない人も多いでしょう。しかし、（３）で原始関数を教えてくれているので、基本さえ理解していればカンタンに求められる計算でした。これを機に復習しておきましょう。

​